SF1924 Kapitel:
2.1-9 | 3.1-10 | 4.1-7 | 5.1-6 ( KS1 )
6.1-5(153),7 | 7.1-4 | 10.1-4 | 11.1-10 | 12.1-5 | 13.1-8,10 | 14.1-4

NOT: FIFS (finns i formelsamling)

Mängder

Begrepp	Notation	Förklaring
utfall	$\omega$	resultatet av ett slumpmässigt försök
utfallsrum	$\Omega$	mängden av alla möjliga utfall
händelse	$A,B,\dots$	en samling/mängd utfall

Ett utfallsrum sägs vara:
  diskret - om antalet utfall är ändliga eller uppräkneligt oändliga.
  kontinuerligt - om antalet utfall är icke uppräkneligt oändliga.

Snitt
Om vi letar efter alla element i $A$ OCH $B$ använder vi snitt: $A\cap B$

Union
Om vi letar efter alla element i $A$ ELLER $B$ använder vi union: $A\cup B$

Komplement (not: $^*$)
$A^*$ betyder det som inte är i $A$.
$(A^*)^* = A$

$(A^* \cup (B \cap C^*))^* = A \cap (B^* \cup C)$
Byt ut alla $\cap \leftrightarrow \cup$ och $A \leftrightarrow A^*$.

De Morgans lagar
$A \cap(B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
$A \cup(B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

Kombinatorik

Multiplikationsprincipen
Om två åtgärder $a$ och $b$ kan utföras på $z_1$ och $z_2$ olika sätt så finns det $z_1z_2$ sätt att utföra kombinationen av båda åtgärder.

Dragning av $k$ element ur $n$:

återläggning	ordning	antal sätt
med	med	$n^k$
utan	med	$\frac{n!}{(n-k)!}$
utan	utan	$\binom{n}{k}$

Binomialkoefficienten: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!},\quad$ (uttalas: "$n$ över $k$")

Sannolikhet

Klassiska sannolikhetsdefinitionen
Sannolikheten av en händelse $A$ betecknas $P(A)$.
$P(A) = \frac{\text{antal gynsamma }(g)}{\text{antal möjliga } (m)},\quad 0 \le P(A) \le 1, \quad P(\Omega) = 1$

Komplementsatsen
$P(A^*) = 1 - P(A)$

Additionssatsen
…för två händelser
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$A \cap B = \empty \text{ (disjunkta)} \implies P(A \cap B) = 0 \implies P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

…för tre händelser
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

Likformig sannolikhet
$P(\omega_i) = \frac{1}{m},\quad i = 1,\dots,m$

Betingad sannolikhet
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)},\quad$ (uttalas: "sannolikheten av $A$ givet/betingat $B$")
$B$ agerar som ett nytt utfallsrum till $A$, så de gynsamma utfallen blir de utfall i $A$ som finns i $B$ och de möjliga utfallen är $B$.

Lagen om total sannolikhet
Om händelserna $H_1,H_2,\dots,H_n$ är disjunkta (dvs $H_1 \cap H_2 \cap \dots \cap H_n = \empty$) OCH $H_1 \cap H_2 \cap \dots \cap H_n = \Omega$ (dvs att för varje försök inträffar exakt en av dem) GÄLLER för varje händelse $A$ att:
$P(A) = \sum^{n}_{i=1}{P(H_i)P(A|H_i)}$

Bayes sats
Under samma villkor som för lagen om total sannolikhet gäller att:
$P(H_i|A) = \frac{P(H_i)P(A|H_i)}{\sum^{n}_{j=1}{P(H_j)P(A|H_j)}}$

Enklare (med endast en betingning, använd om $P(B|A)$ är kännt):
$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

Oberoende händelser
Två händelser $A$ och $B$ sägs vara oberoende om: $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

Tre händelser $A$, $B$ och $C$ sägs vara oberoende om:
$P(A \cap B) = P(A)P(B)$,
$P(A \cap C) = P(A)P(C)$,
$P(B \cap C) = P(B)P(C)$ och
$P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$

Om händelserna $A_1,A_2,\dots,A_n$ är oberoende är deras komplement $A_1^*, A_2^*,\dots,A_n^*$ också oberoende.

Om händelserna $A_1,A_2,\dots,A_n$ är oberoende och $P(A_i) = p_i$ så är sannolikheten att minst en inträffar:
$1 - (1 - p_1)(1 - P_2)\dots (1 - P_n)$

Detta leder också till att om $P(A_i) = p$ (dvs de är lika sannolika) är sannolikheten att minst en inträffar:
$1 - (1 - p)^n$

Endimensionella stokastiska variabler

Även kallat slumpvariabler. Notation: $X,Y,Z,$ osv.
En stokastisk variabel är en funktion som definerar ett värde $x_i$ till varje möjligt utfall $\omega_i$ av en händelse: $X : \Omega=\{ \omega_1,\omega_2,\dots \} \to \{ x_1,x_2,\dots\}$

Det diskreta fallet

Sannolikhetsfunktionen
$p_X(x) = P(X=x)$

Den stokastiska variabeln $X$ antar värden i en definierad mängd.

Fördelningsfunktionen
$F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{i \le x} p_X(j)$

Tvåpunktfördelning (ej med i F.S.)
$p_X(a) = p,\quad p_X(b) = 1-p$
Om $a=1, b=0 sägs $X$ vara Bernoulli-fördelad

Likformig fördelning (ej med i F.S.)
$p_X(k) = \frac{1}{m}, \quad k=1,2,\dots,m$

Förklaring: Vad är sannolikheten att vi får k när vi kastar en m-sidig tärning.
Svar: Den är alltid lika stor $\frac{1}{m}$.

För-fösta-gången-fördelning [FIFS] $\quad X\in \text{ffg}(p)$
$p_X(k) = (1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\dots,\quad p=P(\omega)$

Förklaring: Vad är sannolikheten att vi får vi utfallet $\omega$ med slh $p$ för först gången efter k försök.
Svar: Sannolikheten att missa $1-p$ alla gånger utom den sista, dvs $k-1$-ggr, multiplicerat med sannolikheten för $\omega$, dvs $p$.

Binomialfördelning [FIFS] $\quad X\in \text{Bin}(n,p)$
$p_X(k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,2,\dots,n$

Förklaring: Vad är sannolikheten att dra k element ur n, med återläggning?
Svar: Antalet möjliga kombinationer som k kan väljas ur n, dvs $\binom{n}{k}$, multiplicerat med sannolikheten för k träffar och (n-k) missar, dvs $p^k(1-p)^{n-k}$.

Binomial stokastik variabel

• Oberoende försök
• Varje försök är lyckad eller misslyckad.
• Fast antal försök.
• Konstant sannolikhet över alla försök

Hypergeometrisk [FIFS] $\quad X\in \text{Hyp}(N,n,p)$
$p_X(k)=\binom{Np}{k} \binom{N(1-p)}{n-k}\big /\binom{N}{n}, \quad 0\le k \le Np,\quad 0 \le n-k \le N(1-p)$

$Np =$ totala antalet kulor $\cdot$ slh att få vit kula = antalet vita kulor

Förklaring: Vad är sannolikheten att vi får $k$ “vita” kulor när vi drar $n$ kulor ur totalt $N$ kulor, utan återläggning?
Svar: Använd definitionen för sannolikhet: $\frac{g}{m}$
Antalet gynnsamma är (antalet sätt att välja $k$ “vita” kulor av totalt $Np$ vita kulor) $\cdot$ (antalet sätt att välja resterande $(n-k)$ inte vita kulor ur alla andra $N(1-p)$ kulor)
Antalet möjliga: antalet sätt att välja $n$ kulor ur totalt $N$ kulor.

Poisson-fördelning [FIFS] $\quad X\in Po(\mu)$
$p_X(k)=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu},\quad k=0,1,2,\dots,\quad \mu > 0$

$\mu = \text{Väntevärdet}\ E(X)$ (kommer senare)

Förklaring: Sannolikheten att en händelse sker under ett visst tidsintervall, om vi vet den genomsnittliga sannolikheten ($\mu$) att händelsen sker under intervallet.

Det kontinuerliga fallet

Täthetsfunktionen
$f_X(x)$ kallas täthetsfunktionen och används för att beräkna sannolikheten enligt: $P(X\in A)=\int_A f_X(x)dx$

Den stokastiska variabeln $X$ antar värden i ett valt intervall.

$P(a < X < b)= \int_a^b f_X(x)dx\quad$
(spelar ingen roll om intervallet är slutet eller öppet)

Täthetsfunktionen $f_X(x) = P(X=x)$ beskriver sannolikheten att X antar ett visst värde x.

Fördelningsfunktionen
$F_X(x) = P(X \le x) = P(-\infty < X \le x) = \int_{-\infty}^xf_X(t)dt$

Fördelningsfunktionen beskriver summeringen av den förbrukade sannolikheten till och med värdet $x$.

!!! Viktigt samband
$F'_X(x) = f_X(x)$

Likformig/Uniform fördelning [FIFS] $\quad X \in U(a,b)$
$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & a < x < b \\ 0 & \text{annars}\end{cases}$

Det är lika stor sannolikhet över hela intervallet $[a,b]$. Sannolikheten är därför $P(a \le X \le b) = \frac{1}{b-a}$

$F_X(x) = \begin{cases} 0 & x \le a \\ \frac{x-a}{b-a} & a < x < b \\ 1 & x \ge b\end{cases}$

Exponentialfördelning [FIFS] $\quad X \in \text{Exp}(\lambda)$
$f_X(x) = \begin{cases} 0 & x \le 0 \\ \lambda e^{-\lambda x} & x > 0\end{cases}$

$F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1-e^{-\lambda x} & x \ge 0 \end{cases}$

-Bevis-
Enligt definitionen för fördelningsfunktionen:
$F_X(x)= \int_{-\infty}^x f_X(t)dt = \int_{-\infty}^0 f_X(t)dt + \int_0^x f_X(t)dt$
$=0 \text{ (då f odef under 0)} + \int_0^x f_X(t)dt$

$\int_0^x f_X(t)dt = \left [ F_X(t)\right]_0^x = [-e^{-\lambda t}]_0^x = -e^{-\lambda x} - -e^{-\lambda 0} = -e^{-\lambda x} - (-1) = 1 -e^{-\lambda x}$

Normalfördelning [FIFS] $\quad X \in N(\mu,\sigma)$
$f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2},\quad -\infty < x < \infty$

$\sigma$ kallas standardavvikelsen (kommer senare).

Fler(/Två)dimensionella stokastiska variabler

Notation: $(X,Y),(Z,W),$ osv.
En stokastisk variabel är en funktion som definerar ett talpart$(x_i,y_i)$ till varje möjligt utfall $\omega_i$ av en händelse: $(X,Y) : \Omega=\{ \omega_1,\omega_2,\dots \} \to \{ (x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots\}$

Det diskreta fallet

Sannolikhetsfunktionen
$p_{X,Y}(x,y) =P(X = j, Y = k), \quad j,k= 0,1,2,\dots$

Marginella sannolikhetsfunktionen
$p_X(j) = \sum_{k=0}^\infty P_{X,Y}(j,k)$

Fördelningsfunktionen
$F_{X,Y}(j,k) = P(X \le x, Y \le y) = \sum_{j \le x} \sum_{k \le y} p_{X,Y}(j,k)$

Marginella fördelningsfunktionen
Fås enklast genom att använda den marginella sannolikhetsfunktionen.

Det kontinuerliga fallet

Täthetsfunktionen
$f_{X,Y}(x,y)$ kallas täthetsfunktionen och används för att beräkna sannolikheten enligt: $P((X,Y)\in A)=\int\int_A f_{X,Y}(x,y)dxdy$

Fördelningsfunktionen
$F_{X,Y}(x,y) = P(X \le x, Y \le y) = P(-\infty < X \le x, -\infty < Y \le y)$
$=\int_{-\infty}^y \int_{-\infty}^xf_{X,Y}(u,v)dudv$

Fördelningsfunktionen beskriver summeringen av den förbrukade sannolikheten till och med värdet/punkten $(x,y)$.

Största/Minsta stokastiska variabeln
$Z = \text{max}(X,Y) \implies Z \le z \iff X \le x, Y \le y \implies F_Z(z) = F_X(x)F_Y(y)$

$Z = \text{min}(X,Y) \implies Z > z \iff X > x, Y > y \implies F_Z(z) = 1- (1 - F_X(x))(1 - F_Y(y))$

Lägesmått (väntevärde)

Det förväntade genomsnittliga värdet över ett oändligt antal försök kallas väntevärdet $E(X) = \mu$. Väntevärdet är ett lägesmått, dvs det beskriver var massan är belägen “i genomsnitt”, delar arean under kurvan i hälften.

Det endimensionella diskreta fallet
$E(X) = \sum_{k} kp_X(k)$

Det endimensionella kontinuerliga fallet
$E(X) = \int_{-\infty}^\infty xf_X(x)dx$

Om en s.v. $Y = g(X)$, dvs beror på s.v. $X$ genom en funktion $g$ så byts värdena $x,k$ ut mot funktionsvärdet i formlerna ovan enligt:
$k \to g(k),\quad x \to g(x)$

Det tvådimensionella diskreta fallet
$E(Z) = \sum_{j,k}g(j,k)p_{X,Y}(j,k)$
$Z = g(X,Y)$

Det tvådimensionella kontinuerliga fallet
$E(Z) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x,y)f_{X,Y}(x,y)dxdy$
$Z = g(X,Y)$

Räkneregler för väntevärden
Uppdelning, koefficienter och konstanter
$E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c$
Oberoende s.v. ger
$E(XY) = E(X)E(Y)$

Spridningsmått

Variansen [FIFS]
$V(X) = E[(X-\mu)^2] = \{ \text{anv. räkneregler för väntevärden ovan} \}$
$= E(X^2) - E^2(X)$

Standardavvikelse
$D(X) = \sigma = \sqrt{V(X)}$

Variationskoefficient
$R(X) = \frac{D(X)}{E(X)}$

Räkneregler för spridningsmått
$E(aX+b) = aE(X) + b$
$V(aX + b) = a^2V(X)$
$D(aX + b) = \lvert a \rvert D(X)$

!!! Notera
$V(aX + bY + z) = a^2V(X) + b^2V(X)\quad$ (se räkneregler för väntevärde)
$D(aX + bY + z) = \sqrt{(a^2D(X)^2 + b^2D(Y)^2} \quad$ (se standardavvikelse)

Beroendemått

Kovarians [FIFS]
Beskriver huruvida olika mätdata $X,Y$ tenderar att avviker åt samma eller olika håll, genom att ge ett positivt respektive negativt värde. Är som variansen, men mellan X och Y istället för X $\cdot$ X.
$C(X,Y) = E\left [(X - \mu_X)(Y - \mu_Y) \right ] = E(XY) - E(X)E(Y)$

Korrelationskoefficient [FIFS]
Beskriver huruvida mätdata är korrelerade där $\lvert \rho \rvert$ beskriver korrelationens styrka.
$\rho(X, Y) = \frac{C(X,Y)}{D(X)D(Y)},\quad -1\le\rho \le 1$

I följande fall sägs $X,Y$ vara okorrelerade:
$C(X,Y) = 0 \implies \rho(X,Y) = 0$

Det gäller även att: Om $X,Y$ är oberoende, dvs $E(X,Y) = E(X)E(Y)$, så är de även okorrelerade. Detta gäller INTE åt andra hållet, dvs:
$E(X,Y) = E(X)E(Y) \implies C(X,Y) = 0$
$\big ( C(X,Y) = 0 \nRightarrow E(X,Y) = E(X)E(Y) \big )$

Mer om stokastiska variabler

Standardiserad stokastisk variabel
$Y$ kallas en standardiserad s.v. om $Y = \frac{X-\mu}{\sigma},\quad \mu = E(X),\quad \sigma = D(X)$

En standardiserad s.v. $Y$ har egenskaperna:
$E(Y) = \mu = 0,\quad D(V) = \sigma = 1$
(används i samband med normalfördelning)

Felvärden
Om vi har mätdata enligt den s.v. $X$ så har den finns ett systematiskt fel ($\delta$), som beskriver differensen mellan väntevärdet ($\mu$) och det korrekta värdet ($\theta$), samt ett slumpmässigt fel ($\varepsilon$), som beskriver differensen mellan mätvärdet ($X$) och väntevärdet ($\mu$). Sammanfattat:
$\underbrace{X}_{\text{mätvärde}}= \underbrace{\theta}_{\text{korrekt värde}} + \underbrace{\delta}_{\text{systematiskt fel}} + \underbrace{\varepsilon}_{\text{slumpmässigt fel}}$
Där:
$\delta= \mu - \theta,\quad$ God nogrannhet = litet $\delta$
$\varepsilon = X - \mu,\quad$ God precision = litet $\varepsilon$

Medelvärde
Om s.v. $X_1,X_2, \dots X_n$ är oberoende så:
$\overline{X} = \sum_{i=1}^n \frac{X_i}{n}$

Där:$\quad E(\overline X) = \mu,\quad V(\overline X) = \frac{\sigma^2}{n}, \quad D(\overline X) = \frac{\sigma}{\sqrt n}$

Fler räkneregler för s.v.
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
$V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2C(X,Y)$

Om s.v. oberoende (dvs $C(X,Y) = 0$)
$V(X+Y) = V(X) + V(Y)$
$D(X+Y) = \sqrt{D^2(X) + D^2(Y)}$

Stora talens lag
$P( |\overline X_n - \mu| < \varepsilon) \to 1,\quad \text{för varje }\varepsilon \text{ då } n \to \infty$
Lagen menar att så länge vi utför tillräckligt många försök så kommer medelvärdet av försöken att närma sig väntevärdet, oavsett storlek på precisionen $\varepsilon$.

Markovs olikhet
$P(Y\ge a) \le \frac{E(Y)}{a},\quad (a>0, y>0)$

Tjebysjovs olikhet [FIFS]
$P(|X-\mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2},\quad (\mu,\sigma > 0)$

Begreppslista 1

Begrepp	Notation	Alt.	Förklaring
sannolikhetsfunktion	$p_X(x)$		sannolikheten för en diskret s.v.: P(X = x)
täthetsfunktion	$f_X(x)$		sannolikheten för en kontinuerlig s.v.: P(X = x)
fördelningsfunktion	$F_X(x)$		beskriver hur stor del av den totala slh som förbrukats t.o.m. $x$.
väntevärde	$E(X)$	$\mu$	det förväntade värdet av en s.v. / medelvärdet
varians	$V(X)$		den kvadratiska medelavvikelsen från väntevärdet
standardavvikelse	$D(X)$	$\sigma$	den genomsnittliga avvikelsen
variationskoefficient	$R(X)$		den procentuella avvikelsen
kovarians	$C(X,Y)$		variansen mellan två olika s.v.
korrelationskoefficient	$\rho(X,Y)$		korrelationen mellan två s.v.
korrekt värde		$\theta$	det korrekta värdet (ej mätvärde)
systematiskt fel		$\delta$	skillnaden mellan väntevärdet och det korrektvärdet ($\mu - \theta$)
slumpmässigt fel		$\varepsilon$	skillnaden mellan mätvärdet och väntevärdet ($X-\mu$)
frihetsgrad	$f$		ofta men INTE alltid: $f=(n-1)$ (alt $f=(r-1)$), n/r = antalet försök/tester

---

---

Normalfördelning

Om en eller flera s.v. $X$ är normalfördelade betecknas det som $X \in N(\mu,\sigma)$.
$f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2},\quad F_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-(t-\mu)^2 / 2\sigma^2}dt$

Standariserad normalfördelning
För $\mu = 0$ och $\sigma = 1$ får vi speciallfallet $X \in N(0,1)$ som kallas det standardiserad normalfördelning. För detta specialfall kallas täthetsfunktionen $f_x(x)$ för $\varphi(x)$, och fördelningsfunktionen $F_X(x)$ för $\Phi(x)$.
$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},\quad \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2 / 2}dt$

!!! Notera att dessa oftast avläses från tabeller, inte räknas ut.

Egenskaper för standardiserad normalfördelning
I och med att en standardiserad normalfördelning är symmetrisk runt $y$-axeln så gäller följande:

• $\varphi(-x) = \varphi(x)$
• $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
• $P(a < X < b) = \Phi(b) - \Phi(a)\quad$ (dvs slh att $X$ ligger emellan $a$ och $b$.)

$\alpha$-kvantilen
Den area under täthetsfunktionen höger om $\lambda_\alpha$ är lika med $\alpha$.
$P(X > \lambda_\alpha) = \alpha$

Enligt ovan symmetriska egenskaper gäller även: $\lambda_{1-\alpha} = -\lambda_\alpha$

Formeln används oftast för att beräkna slh för att $X$ ligger mellan $-\lambda_{\alpha/2}$ och $\lambda_{\alpha/2}$.
$P(-\lambda_{\alpha/2}<X<\lambda_{\alpha/2}) = 1- \alpha$

Allmän normalfördelning
För det allmänna fallet kan vi utgå i den standardiserade normalfördelningen, då den är mycket enklare att räkna med. Så om $X \in N(\mu, \sigma)$ och $Y = \frac{x-\mu}{\sigma} \in N(0,1)$ gäller:
$f_x(X) = \frac{1}{\sigma}\varphi \left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right ),\quad F_x(X) = \Phi \left (\frac{x-\mu}{\sigma} \right )$

Glöm inte att: $\mu = E(X), \sigma = D(X)$ och då även att $\sigma^2 = V(X)$.

Linjärkombinationer av oberoende normalfördelade s.v.
Genom att vända räknereglerna för väntevärde, standardavvikelse (se tidigare avsnitt) kan vi beskriva vad som händer med normalfördelad s.v. då vi linjärtransformerar dem:

En s.v. $X \in N(\mu,\sigma)$:
$Y = aX + b \in N(a\mu + b, |a|\sigma),\quad \|a|\sigma = \sqrt{a^2\sigma^2}$

Två $X \in N(\mu_X, \sigma_X)$ och $Y \in N(\mu_Y, \sigma_Y)$:
$X+Y \in N\left ( \mu_x + \mu_Y, \sqrt{\sigma^2_X + \sigma_Y^2} \right )$
$X-Y \in N\left ( \mu_x - \mu_Y, \sqrt{\sigma^2_X + \sigma_Y^2} \right )$

!!! Observera att tecknet inte spelar roll för standardavvikelsen, precis som tidigare.

Flera s.v. $X_1,X_2,\dots,X_n$ som alla $\in N(\mu_i, \sigma_i)$ respektive:
$\sum_1^n a_iX_i + b \in N\left ( \sum_1^n a_i\mu_i + b, \sqrt{\sum_1^n a_i^2\sigma_i^2} \right )$

Medelvärden
Om vi använder det aritmetiska medelvärdet till en s.v. enligt $\overline X = \sum_1^n X_i / n$ så är medelvärdet normalfördelat enligt: $\overline X \in N(\mu, \sigma /\sqrt n)$

Kan ses från Centrala Gränsvärdessatsen härnäst.

Om vi har två olika medelvärden $\overline X$ och $\overline Y$ så gäller:
$\overline X - \overline Y \in N(\mu_X - \mu_Y, \sqrt{\sigma_X^2 / n_X + \sigma_Y^2/n_Y})$

Centrala gränsvärdessatsen
Om $X_1, X_2, \dots$ är en oändlig följd av oberoende och likafördelade s.v. med $\sigma > 0$ så gäller för $Y_n = X_1 + \cdots + X_n$ att:
$P(a < \frac{Y_n -n\mu}{\sigma\sqrt n} \le b) \to \Phi(b) - \Phi(a),\quad n\to \infty$

Asymptotisk normafördelning
Om $Z_n$ är en oändlig följd s.v. det kan finnas talen $A_n, B_n$ sådana att:
$P\left ( a < \frac{Y_n -A_n}{B_n} \le b \right ) \to \Phi(b) - \Phi(a),\quad n\to \infty$
…sägs $Z_n$ vara asymptotiskt normalfördelad: $Z_n \in \text{AsN}(A_n, B_n)$

!!! Detta medför även från ovan att $Y_n \in \text{AsN}(n\mu, \sigma\sqrt n)$

Det gäller då även (följer enkelt ur ovan argument) för en följd oberoende likafördelade s.v. att:
$(X_1,X_2,\dots,X_n)/n \in \text{AsN}(\mu, \sigma/\sqrt n)$

Binomialfördelning och dess släktningar

3-4 FIFS

Punktskattning/Stickprov

Stickprovsvariabel
$\theta^* = \theta^*(X_1,X_2,\dots,X_n)$ är en funktion av s.v. $X_1,X_2,\dots,X_n$, som är fördelad enligt parametern $\theta$.

Punktskattning
$\theta^*_{\text{obs}} = \theta^*(x_1,x_2,\dots,x_n)$ är en funktion av mätdata $x_1,x_2,\dots,x_n$ som är ETT utfall (observation) av $\theta^*$.

Medelfel/Standardfelet för stickprov (not: $d$)

När $\mu$ skattas
$D(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \to D^*_{obs}=d=\frac{s}{\sqrt{n}}, \quad$(för $s$ se 8 FIFS)

…förskillnaden: $\mu_1-\mu_2$
$D(\bar X - \bar Y) = \sqrt{\frac{\sigma^2_x}{n}+\frac{\sigma^2_y}{n}}$

När $p$ skattas
$d=\sqrt{\frac{p^*(1-p^*)}{n}}$

…förskillnaden: $p_1-p_2$
$d^*_{p_1-p_2:obs}=\sqrt{\frac{p_1^*(1-p_1^*)}{n_1}+\frac{p_2^*(1-p_2^*)}{n_2}}\approx D{p_1-p_2}$

Konfidensinterval

Krav på bra konfidensinterval (från Binomial) (FIFS)

1. Slumpmässigt urval
2. Approximativt normalfördelad - minst 10 vardera av träffar och missar, dvs: $np, n(1-p) \le 10$.
   • Oftast är parametern $p$ ej känd och då används istället den approximerade stickprovsvariabeln $p^*$
3. Oberoende urval - utan återläggning bör urvalsstorleken ej vara större än 10% av populationen.
   • Oftast är parametern $p$ ej känd och då för att beräkna standardavvikelsen $\sigma_p = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ använder vi istället den approximerade stickprovsvariabeln $p^*$ för att approximera standardfelet $\sigma_{p^*} = \sqrt{\frac{p^*(1-p^*)}{n}} \approx \sigma_p$.

Välja metod för konfidensinterval

1. Vilken fördelning tillhör den okända parameterna $\theta$?
   1. normalfördelad $\in N(\theta, D), \quad D=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
      1. Är riktiga $\sigma$ känd?
         JA: $\lambda$-metoden (12.1 FIFS}
         NEJ: $t$-metoden (12.2 FIFS), använd $D^*_{obs} = \frac{s}{\sqrt{n}}, \quad s$ punktskattning av $\sigma$
   2. approximativt…
      …normalfördelad $\in N(\theta, D)$
      Approximativa metoden (12.3 FIFS) => ger en approximativ signifikansnivå
      …annars ((12.3 FIFS) funkar ändå, men ej $N(\mu,\sigma)$)?
      $I_\theta = \theta^*_{obs} \pm d\cdot \lambda_{\alpha/2}$, (se $d$ medelfel ovan)
   3. vilken annan fördelning som helst, inklusive $N(\mu, \theta)$
      $\chi^2$-metoden (12.4 FIFS), använd en punktskattning av $\theta$ (t.ex. $s$ för $\sigma$)

$\chi^2$-test

Test av given fördelning
!!! Kontrollera $np_i \ge 5$.
$Q \le \chi^2_\alpha(f) \Rightarrow H_0$ sann med konfidensnivå $1-\alpha$
(14.3 FIFS)

Om $np_i \ge 5$ EJ UPPFYLLT: Gruppera enligt:

1. slå ihop 2 eller flera tester $x_i$ till ett test:
   $p = \sum p_i$
   $x = \sum x_i$
2. Räkna ut nytt $np$ och hantera som enskilt test.

Homogenitetstest
Som ovan, men summera istället samtliga kollonner och rader. 14.3 FIFS

Kategorisering av uppgifter

I. Sannolikhet

• $P(A) = \frac{\text{antal gynsamma }(g)}{\text{antal möjliga } (m)},\quad 0 \le P(A) \le 1, P(A^*) = 1- P(A)$
• $P(A\cap B),P(A\cup B),P(A|B)$

II. Fördelningar

• 1 Läsa ut fördelningar (se 3-4 FIFS) från…
  • täthetsfunktion $f_X(x)$
  • fördelningsfunktion $F_X(x) = \int^x_{-\infty}f_X(t)dt$
  • uppgiftsbeskrivning…
    • val utan återläggning $\to$ hypergeometrisk
• 2 Beräkna…
  • slh. för exakt värde på $x$, dvs $P(x) = p_X(k)$ alt $f_x(x)$
  • slh. för värde större eller mindre än.
    ex: $x > m$, dvs $P(x > m) = 1-P(x<m)=1-F_X(m)$
  • väntevärde $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx,\quad$ (se 2,3-4 FIFS)
  • varians $V(X)$ (se 2,3-4 FIFS)
  • standardavvikelse $D(X) = \sqrt{V(X)}$ (se 3-4 FIFS)
  • maximum-likelihood-skattning [ML] av en parameter $\theta$. (9.1 FIFS)
    Anv. logaritmering! och DUFFuM (dela upp så fort som fucking möjligt)

III. Linjärkombinationer av stokastiska variabler

• …med samma fördelning.
  ex: $X\in \text{Bin}(n_1,p), Y\in \text{Bin}(n_2,p), P(X + Y = x),\quad$ [–> I. Fördelningar]
• …räkneregler för storheter $(E,V,D,C,\rho)$.
  ex: $V(X) = v_1, V(Y)=v_2, C(3X,Y) = ?$

IV. Konfidensintervall

V. Hypotesprövning
$\alpha = P(H_0 \text{ förkastas})$ även om $H_0$ sann.
Skapa ett konfidensintervall för mothypotesen $H_1$ med konfidensgrad $1-\alpha$.
(om $H_1 </> \theta$ använd nedre/högre gräns $-\infty/\infty$)
[–> IV. Konfidensintervall]